magia numérica extraídos de viejos libros - 21 de Junio 2009 - Blog - Abaco Azteca
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magia numérica extraídos de viejos libros

  Algunos ejemplos de magia numérica extraídos de viejos libros

Vicente Meavilla Seguí
Departamento de Matemáticas,
Universidad de Zaragoza (España)
vmeavill@hotmail.com

RESUMEN

Al estudioso de la historia de las matemáticas, en su trabajo de búsqueda, análisis y valoración de textos, no le resulta extraño encontrar abundante material que cualquier espíritu clasificador incluiría, sin dudar, en la sección de Matemática Recreativa.

En este artículo presentamos algunos juegos matemáticos de adivinación, cuyo interés didáctico es notable, extraídos de tres manuales españoles escritos allá por los siglos XVI y XVII.

Para hacer más cómoda la lectura de los textos originales se ha respetado su vocabulario y sintaxis, pero hemos actualizado su ortografía.

ADIVINAR EL NÚMERO QUE UNO HA PENSADO

Primera recreación (Corachán*, 1699)

* Juan Bautista Corachán fue matemático, físico y astrónomo. Nació en Valencia (España) en 1661 y falleció en la misma ciudad en 1741.

Algunos suelen poner regla para adivinar los dineros que uno tiene, las horas a que ha comido, o se ha acostado, &c. [etcétera] pero lo mismo es que adivinar el número que ha pensado.

Hágase pues, que el número pensado se tresdoble [se triplique]. Y después de tresdoblado, se preguntará si el triplo es par o impar. Si respondieren que par, dígase que tomen la mitad, pero si fuere impar, hágase que se añada 1 y que se tome la mitad. Hecho esto, dígase que se triplique esta mitad, y del triplo que se quiten los nueves que se puedan [tómese el cociente entero de dividir por 9 el último número obtenido] y que digan cuantos nueves han quitado. Sabidos los nueves, tómese 2 por cada uno [multiplíquese por 2 el número de nueves sacados]; tómese también una unidad cuando el primer triplo es impar, y saldrá el número pensado.

Comentario

Dado que el número pensado puede ser par o impar, el procedimiento de Corachán se puede descomponer en los dos siguientes:

1. El número pensado es par (p = 2a)

  • Multiplicar por 3 el número pensado. Se obtiene 6a (par).
  • Dividir por 2 el resultado anterior. Se obtiene 3a.
  • Multiplicar por 3 el cociente anterior. Se obtiene 9a.
  • Dividir por 9 el producto anterior. Se obtiene a.
  • Multiplicar por 2 el cociente anterior. Se obtiene 2a (número pensado).

2. El número pensado es impar (p = 2a + 1)

  • Multiplicar por 3 el número pensado. Se obtiene 6a + 3 (impar).
  • Añadir 1 al resultado anterior. Se obtiene 6a + 4 (par).
  • Dividir por 2 la suma anterior. Se obtiene 3a + 2.
  • Multiplicar por 3 el cociente anterior. Se obtiene 9a + 6.
  • Dividir por 9 el producto anterior. El cociente obtenido es a y el resto 6.
  • Multiplicar por 2 el cociente entero de la división anterior. Se obtiene 2a.
  • Añadir 1 al producto anterior. Se obtiene 2a + 1 (número pensado).

Segunda recreación (Pérez de Moya*, 1562)

* Las noticias biográficas de este autor son inciertas. Se sabe que nació en Santiesteban del Puerto (Jaén, España) poco antes de 1513. Al parecer, enseñó matemáticas en Salamanca y Madrid. Fue canónigo de la catedral de Granada.

Pongo, por ejemplo, que uno toma once en su memoria.

Para saber los que toma haréis que tresdoble, y serán 33. De estos 33 sáquese la mitad, que son 16 y medio. Este medio haz que lo haga entero, y será todo 17.

Tresdoble otra vez este 17, y serán 51. Saquen otra vez la mitad de 51, que son 25 y medio, y por cuanto vino medio, haréis que lo haga entero, y serán 26.

Después de esto no se hará más de preguntar cuántos nueves hay en esta postrera mitad, que fue 26, y respondernos han que hay dos nueves.

Pues la regla es que por cada nueve que os respondieren que hay, habéis de tomar cuatro. Y así por los dos nueves que dicen que hay en los veinte y seis, contareis dos cuatros, que son ocho.

Y porque en esta regla dicen dos veces que tresdoblen el número que toma, y otras tantas veces hacen sacar la mitad, por tanto notareis que si la primera vez que mandárades sacar la mitad, hubiere medio, añadiréis uno; y por el que hubiere en la segunda vez, cuando hiciéredes sacar otra vez la mitad, añadiréis dos.

Pues por cuanto en este ejemplo os vino medio en la primera vez, que vale uno, y en la segunda, que vale dos, por tanto juntaréis tres, que montan estos medios, con los 8 que tenéis, y serán once.

Y este diréis que es el número que al principio se imaginó.

Comentario

Sea p el número pensado.

Como en esta recreación se divide dos veces entre 2 y luego se multiplica por 4, se pueden presentar las cuatro situaciones siguientes:

p = 4a, (1)

p = 4a + 1, (2)

p = 4a + 2, (3)

p = 4a + 3 (4)

En consecuencia, el método de adivinación expuesto por Pérez de Moya se puede analizar desde cuatro puntos de vista:

1. El número pensado es de la forma 4a

  • Multiplicar por 3 el número pensado. Se obtiene 12a (par).
  • Dividir por 2 el producto anterior. Se obtiene 6a.
  • Multiplicar por 3 el cociente anterior. Se obtiene 18a (par).
  • Dividir por 2 el producto anterior. Se obtiene 9a.
  • Dividir por 9 el resultado anterior. El cociente obtenido es a.
  • Multiplicar por 4 el cociente anterior. Se obtiene 4a (número pensado).

Notemos que cuando el número pensado es múltiplo de cuatro no aparecen fracciones ni en la primera división por 2 ni en la segunda.

2. El número pensado es de la forma 4a + 1

  • Multiplicar por 3 el número pensado. Se obtiene 12a + 3 (impar).
  • Dividir por 2 el producto anterior. Se obtiene 6a + 3/2.
  • Añadir 1/2 al resultado anterior. Se obtiene 6a + 2.
  • Multiplicar por 3 la suma anterior. Se obtiene 18a + 6 (par).
  • Dividir por 2 el producto anterior. Se obtiene 9a + 3.
  • Dividir por 9 el resultado anterior. Se obtiene el cociente a.
  • Multiplicar por 4 el cociente anterior. Se obtiene 4a.
  • Añadir 1 al producto anterior. Se obtiene 4a + 1 (número pensado).

En este caso aparece una fracción en la primera división entre 2, pero no en la segunda.

3. El número pensado es de la forma 4a + 2.

Dejamos al lector el análisis de este caso. Aquí aparece una fracción en la segunda división, pero no en la primera.

4. El número pensado es de la forma 4a + 3.

El lector puede comprobar que el truco también funciona en esta situación. Aquí aparece una fracción tanto en la primera división como en la segunda.

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