DIVISIBILIDAD ( PARTE II) - 17 de Junio 2009 - Blog - Abaco Azteca
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8:26 PM
DIVISIBILIDAD ( PARTE II)

Ejercicios y problemas. ¡A resolver!

1 - ¿Con qué cifra completarías para que el número sea múltiplo de a?

a) 12 2        a=4
b) 64
95      a=3
c) 5
25        a=5
d) 874
       a=11
e) 504
       a=8
f) 75
6         a=9
g) 6
24        a=11
h) 751
       a=2
 i) 852
       a=6
 j) 10
9        a=7
k) 8
5          a=25

2 - ¿Qué cifra hay que poner para que el número 367

a) sea múltiplo de 3 y de 5?
b) sea múltiplo de 2 y de 5?

3 - El conjunto D está formado por todos los múltiplos de dos comprendidos entre 1 y 1000; el conjunto T está formado por todos los múltiplos de tres comprendidos entre 1 y 1000. ¿Cuántos elementos tienen los conjuntos D, T y D I T? (Ñandú 1° nivel, 5° Grado, 2°año 2° Ciclo EGB)

4 - El número N tiene este aspecto: N=3a42b, con a y b dígitos. ¿De cuántas maneras puedo elegir a y b para que N sea divisible por 6? (Ñandú 2° nivel, 6° Grado, 3°año 2° Ciclo EGB)

5 - ¿Cuántos números naturales de 4 cifras terminan en 36 y son múltiplos de 36? (O.M.A. 1° nivel, 1° y 2° año, 8° y 9° año 3° Ciclo EGB)

6 - Reemplazando a y b por dígitos, hallar todos los números naturales de cinco cifras 65a1b que son múltiplos de doce. (O.M.A. 1° nivel, 1° y 2° año, 8° y 9° año 3° Ciclo EGB)


 

 

Respuestas:

1-
a) Respuestas posibles: 1212; 1232; 1272; 1292
b) Respuestas posibles: 64095; 64395; 64695; 64995
c) Respuestas posibles: 5025; 5125; 5225; 5325; 5425; 5525; 5625; 5725; 5825; 5925
d) 8745
e) Respuestas posibles: 5040; 5048
f) Respuestas posibles: 750
g) 6424
h) Respuestas posibles: 7510; 7512; 7514; 7516; 7518
i) Respuestas posibles: 8520; 8526
j) Respuestas posibles: 1029; 1099

Comprobación:

k) Respuestas posibles: 825; 875

2 -

a)   3675
b)   3670

3 -

      Como los múltiplos de dos son los números pares, entre 1 y 1000, hay 500 pares y 500 impares; por lo tanto el conjunto D tiene 500 elementos.

      Como 3 es el menor número múltiplo de tres entre 1 y 1000, y si dividimos 1000 por 3, obtenemos un cociente igual a 333, con resto 1, por lo tanto 333 es el mayor entero por el que podemos multiplicar a 3 para obtener un número no mayor que 1000.

      Los múltiplos de tres que están entre 1 y 1000 se escriben como 3 por un número entero comprendido entre 1 y 333; hay 333 múltiplos de tres entre 1 y 1000.

      El conjunto T tiene entonces 333 elementos.

      El conjunto D I T está formado por los múltiplos de dos y de tres, por lo tanto por los múltiplos de seis (según criterio de divisibilidad).

      Como 6 es el menor múltiplo de 6 entre 1 y 1000 y al dividir 1000 por 6 obtenemos un cociente igual a 166, con un resto igual a 4.

      Siguiendo el razonamiento que hicimos para calcular la cantidad de elementos del conjunto T, podemos decir que los elementos del conjunto D I T son 166.

4 -

     N = 3a42b; con a y b dígitos

     N es divisible por 6 por lo tanto es divisible por 2 y por 3. Como es divisible por 2, b puede tomar solamente los valores 0, 2, 4, 6 u 8. Como es divisible por 3, 3+a+4+2+b tiene que ser múltiplo de 3, o sea 9+a+b tiene que ser múltiplo de 3, con lo cual a+b tiene que ser múltiplo de 3; a+b puede tomar los valores 0, 3, 6, 9, 12, 15 o 18. (recordar que a y b son dígitos).

     Analicemos las distintas posibilidades:

  • Si a+b=0 entonces a=b=0                       (1)
  • Si a+b=3, como b es par: b=0 y a=3
                                          b=2 y a=1        (2)
  • Si a+b=6, como b es par: b=0 y a=6
                                          b=2 y a=4
                                          b=4 y a=2
                                          b=6 y a=0        (4)
  • Si a+b=9, como b es par: b=0 y a=9
                                          b=2 y a=7
                                          b=4 y a=5
                                          b=6 y a=3
                                          b=8 y a=1        (5)
  • Si a+b=12, como b es par: b=4 y a=8
                                            b=6 y a=6
                                            b=8 y a=4      (3)
  • Si a+b=15, como b es par: b=6 y a=9
                                            b=8 y a=7      (2)
  • Si a+b=18, como b es par: no hay valores posibles para a y b, que son dígitos. (0)

Para cada posibilidad se escribió entre paréntesis la cantidad de opciones, por lo tanto hay 17 maneras distintas de elegir a y b para que N resulte divisible por 6

5 -

Se busca encontrar los números xy36, x 0, múltiplos de 36.

Un número es múltiplo de 36 si lo es de 4 y 9, pero como xy36 termina en 36, cumple con el criterio de divisibilidad por 4, por lo tanto sólo debemos encontrar las condiciones para que xy36 sea múltiplo de 9, o sea que x + y + 3 + 6= 9 , o simplemente x + y sea múltiplo de 9.

Se presentan sólo dos posibilidades: (no olvidemos que x e y son dígitos)
          x + y = 9     ó    x + y = 18

Si x + y = 9, para cada valor posible de x hay un único valor de y (y = 9-x); x = 1,2,...,9; por lo tanto son 9 los números.

Si x + y = 18, sólo existe una posibilidad x = y = 9.

En total hay 10 números xy36, x 0, que son múltiplos de 36.

Nota: este problema muchos alumnos lo resuelven haciendo la lista de todos los números de cuatro cifras terminados en 36 y tachan los que no cumplen con el criterio de divisibilidad por 9, cuentan los que no tacharon y obtienen correctamente el resultado, en ese caso además de conocer cuántos números son, averiguan cuáles son. Puede ser una variante de este problema plantear ambas preguntas.

6-

 Leemos en la tabla el criterio de divisibilidad por 12: nos indica que un número es divisible por 12 cuando es divisible por 3 y por 4.

Divisibilidad por 3: 6 + 5 + a + 1 + b debe ser múltiplo de 3.
Divisibilidad por 4: 1b debe ser múltiplo de 4. Por lo tanto los únicos valores posibles de b son 2 y 6.

Analicemos ambas posibilidades:

i) b = 2: el número es 65a12, para que sea múltiplo de 3, 6 + 5 + a + 1 + 2 = 14 + a debe ser múltiplo de 3, 14+a es múltiplo de 3 si a = 1, 4 ó 7.

ii) b = 6: el número es 65a16, para que sea múltiplo de 3, 6 + 5 + a + 1 + 6 = 18 + a debe ser múltiplo de 3, 18+a es múltiplo de 3 si a = 0, 3, 6 ó 9.

          Los números buscados son 12 y son los siguientes:

            65112, 65412, 65712, 65016, 65316, 65616, 65916


Bibliografía:

  • Julia Seveso y Graciela Ferrarini. OLIMPÍADA MATEMÁTICA ÑANDÚ - PROBLEMAS 2. Red Olímpica. Colección Pacha Mama.
  • Julia Seveso y Graciela Ferrarini. OLIMPÍADA MATEMÁTICA ÑANDÚ - PROBLEMAS 3. Red Olímpica. Colección Pacha Mama.
  • Patricia Fauring y Flora Gutierrez. Olimpíada Matemática Argentina
    Problemas 8. Red Olímpica. Colección NAMAKKAL.
Patricia Fauring y Flora Gutierrez. Olimpíada Matemática Argentina
Problemas 9. Red Olímpica. Colección NAMAK
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