8:26 PM DIVISIBILIDAD ( PARTE II) |
Ejercicios y problemas. ¡A resolver! 1 - ¿Con qué cifra completarías para que el número sea múltiplo de a? a) 12 2 - ¿Qué cifra hay que poner para que el número 367 a) sea múltiplo de 3 y de 5? 3 - El conjunto D está formado por todos los múltiplos de dos comprendidos entre 1 y 1000; el conjunto T está formado por todos los múltiplos de tres comprendidos entre 1 y 1000. ¿Cuántos elementos tienen los conjuntos D, T y D I T? (Ñandú 1° nivel, 5° Grado, 2°año 2° Ciclo EGB) 4 - El número N tiene este aspecto: N=3a42b, con a y b dígitos. ¿De cuántas maneras puedo elegir a y b para que N sea divisible por 6? (Ñandú 2° nivel, 6° Grado, 3°año 2° Ciclo EGB) 5 - ¿Cuántos números naturales de 4 cifras terminan en 36 y son múltiplos de 36? (O.M.A. 1° nivel, 1° y 2° año, 8° y 9° año 3° Ciclo EGB) 6 - Reemplazando a y b por dígitos, hallar todos los números naturales de cinco cifras 65a1b que son múltiplos de doce. (O.M.A. 1° nivel, 1° y 2° año, 8° y 9° año 3° Ciclo EGB) Respuestas: 1- Comprobación: k) Respuestas posibles: 825; 875 2 - a) 3675 3 - Como 3 es el menor número múltiplo de tres entre 1 y 1000, y si dividimos 1000 por 3, obtenemos un cociente igual a 333, con resto 1, por lo tanto 333 es el mayor entero por el que podemos multiplicar a 3 para obtener un número no mayor que 1000. Los múltiplos de tres que están entre 1 y 1000 se escriben como 3 por un número entero comprendido entre 1 y 333; hay 333 múltiplos de tres entre 1 y 1000. El conjunto T tiene entonces 333 elementos. El conjunto D I T está formado por los múltiplos de dos y de tres, por lo tanto por los múltiplos de seis (según criterio de divisibilidad). Como 6 es el menor múltiplo de 6 entre 1 y 1000 y al dividir 1000 por 6 obtenemos un cociente igual a 166, con un resto igual a 4. Siguiendo el razonamiento que hicimos para calcular la cantidad de elementos del conjunto T, podemos decir que los elementos del conjunto D I T son 166. 4 - N = 3a42b; con a y b dígitos N es divisible por 6 por lo tanto es divisible por 2 y por 3. Como es divisible por 2, b puede tomar solamente los valores 0, 2, 4, 6 u 8. Como es divisible por 3, 3+a+4+2+b tiene que ser múltiplo de 3, o sea 9+a+b tiene que ser múltiplo de 3, con lo cual a+b tiene que ser múltiplo de 3; a+b puede tomar los valores 0, 3, 6, 9, 12, 15 o 18. (recordar que a y b son dígitos). Analicemos las distintas posibilidades:
Para cada posibilidad se escribió entre paréntesis la cantidad de opciones, por lo tanto hay 17 maneras distintas de elegir a y b para que N resulte divisible por 6 5 - Se busca encontrar los números xy36, x Un número es múltiplo de 36 si lo es de 4 y 9, pero como xy36 termina en 36, cumple con el criterio de divisibilidad por 4, por lo tanto sólo debemos encontrar las condiciones para que xy36 sea múltiplo de 9, o sea que x + y + 3 + 6= 9 , o simplemente x + y sea múltiplo de 9. Se presentan sólo dos posibilidades: (no olvidemos que x e y son dígitos) Si x + y = 9, para cada valor posible de x hay un único valor de y (y = 9-x); x = 1,2,...,9; por lo tanto son 9 los números. Si x + y = 18, sólo existe una posibilidad x = y = 9. En total hay 10 números xy36, x Nota: este problema muchos alumnos lo resuelven haciendo la lista de todos los números de cuatro cifras terminados en 36 y tachan los que no cumplen con el criterio de divisibilidad por 9, cuentan los que no tacharon y obtienen correctamente el resultado, en ese caso además de conocer cuántos números son, averiguan cuáles son. Puede ser una variante de este problema plantear ambas preguntas. 6- Leemos en la tabla el criterio de divisibilidad por 12: nos indica que un número es divisible por 12 cuando es divisible por 3 y por 4. Divisibilidad por 3: 6 + 5 + a + 1 + b debe ser múltiplo de 3. Analicemos ambas posibilidades: ii) b = 6: el número es 65a16, para que sea múltiplo de 3, 6 + 5 + a + 1 + 6 = 18 + a debe ser múltiplo de 3, 18+a es múltiplo de 3 si a = 0, 3, 6 ó 9. 65112, 65412, 65712, 65016, 65316, 65616, 65916 Bibliografía:
Problemas 9. Red Olímpica. Colección NAMAK |
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