Problema de las edades

http://rt000z8y.eresmas.net/matemat.htm#act13

Dos amigos mantienen esta conversación:
-¿Cuántos años tienen ya tus tres hijos?-pregunta el primero.
-Seguro que lo aciertas -contesta el segundo-. El producto del número de años que tienen es 36 y su suma es igual al número de tu casa.
-Me falta un dato -dice el primero transcurrido un instante.
-Ah, ¡es verdad! -reconoce el segundo-. La mayor toca el piano.

¿Sabrías decir las edades de los tres hijos?.

SOLUCIÓN 

En primer lugar descomponemos el número 36 como producto de tres números naturales y calculamos la suma de los tres factores:
 
                36= 1.1.36 (suma 38)            36= 1.2.18 (suma 21)
                36= 1.3.12 (suma 16)            36= 1.4.9  (suma 14)
                36= 1.6.6  (suma 13)            36= 2.2.9  (suma 13)
                36= 2.3.6  (suma 11)            36= 3.3.4  (suma 10)

Naturalmente, nuestro amigo conoce el número de su casa. Entonces, ¿porqué dice que le falta un dato?. Evidentemente, el número de su casa es el 13 que es la única suma repetida en la serie anterior y en consecuencia necesita conocer algo mas sobre los hijos de su amigo. Quizás desconcierte un poco la respuesta de su amigo pero tiene su explicación. Si observamos los dos productos 1.6.6 y 2.2.9 veremos que en ambos aparecen dos números repetidos (hermanos gemelos o mellizos),en este momento comprendemos que la respuesta  "La mayor toca el piano" nos conduce a la solución "2,2,9" ya que la otra alternativa es imposible.

Jugando con números
Te planteo este sencillo juego.
-Escribe un número de tres cifras distintas.(Por ejemplo 136.)
-Escríbelo en orden inverso (631).
-Resta del mayor el menor (631-136=495)
-Si tu me dices la cifra de las unidades, yo adivino el valor de la resta.

¿Crees que es posible?.

SOLUCIÓN 

Vamos a utilizar un poco de cálculo algebraico. Supongamos que el número de tres cifras es "abc".Expresamos este número como potencias de 10:  a.10²+b.10+c. En orden inverso seria   cba= c.10²+b.10+a.
Los restamos (suponiendo a>c):
(a.10²+b.10+c)- (c.10²+b.10+a)=(a-c).10²+(c-a)=
(a-c)(100-1)=(a-c).99.
Es decir, siempre se obtiene un múltiplo de 99. Analicemos estos múltiplos:
        99.1=99=099
        99.2=198
        99.3=297
        99.4=396
            .
            .
Observamos que todos tienen propiedades comunes:
        *la cifra de las decenas siempre es un nueve
        *la cifra de las unidades y las centenas suman nueve
Es evidente que nos basta con conocer la cifra de las unidades (o centenas) para "adivinar" el número resultante.

El matemático ignorante
En las aulas de cierta facultad de Matemáticas, nos podemos encontrar a un extraño personaje. Cierto día, me confesó que tan sólo sabía multiplicar y dividir por 2.
- A pesar de todo, me dijo, puedo multiplicar rápidamente números de dos cifras.

Le propuse que multiplicara 75 por 38.
Tomó una hoja de papel y escribió a la izquierda 75 y a la derecha 38. Luego inició sus cálculos:

- La mitad de 75 es 37, ¿no es así?.
- No -le dije- es 37'5.
- De acuerdo, pero no sé trabajar con decimales, así que no los pongo.

Escribió 37 y, repitiendo el proceso, dividió por dos y obtuvo, a pesar de mis protestas, 18, 9, 4, 2 y finalmente 1.
Después multiplicó 38 por dos. El resultado, 76, lo escribió en la fila inferior. Volvió a multiplicar por dos y obtuvo 152, 304, 608, 1216 y 2432.
Al final tenía escrito,

 
Me dijo que los números pares de la columna de la izquierda no servían de nada, así que los tachó (junto con el número que tenían a su derecha) con lo que quedó
 

 
Sumando los números de la columna de la derecha obtuvo: 38+76+304+2432=2850, que es el resultado correcto. Probé con otros números y también funcionaba el método.
¿Sabrías dar una explicación matemática?.